← AppsMatemáticasaiq-quivers 1.2.1

Laboratorio AIQ

Un cuaderno para entender aiq-quivers, el paquete de la tesis Autómatas de impacto sobre quivers. Cada capítulo explica una idea, la ejecuta con el paquete real y la dibuja. El código es editable: cambia el quiver, los parámetros o los estados y vuelve a ejecutar.

Preparando Python en el navegador (Pyodide + aiq-quivers desde PyPI). La primera vez tarda unos segundos; después queda en caché.

§1

El quiver y su matriz

Todo empieza con Quiver(vertices, arrows). Cada flecha es una terna (nombre, origen, destino); se admiten lazos y flechas paralelas. La matriz de adyacencia A cuenta flechas de i a j, y sus potencias A^k cuentan caminos de longitud k. El ejemplo es el quiver de citación de cinco artículos del Quick Start del paquete.

Python · aiq

from aiq import Quiver

Q = Quiver(
    vertices=["P1", "P2", "P3", "P4", "P5"],
    arrows=[
        ("a1", "P1", "P2"), ("a2", "P1", "P3"),
        ("a3", "P2", "P4"), ("a4", "P3", "P4"),
        ("a5", "P3", "P5"), ("a6", "P4", "P5"),
    ],
)
print(Q.summary())
print("acíclico:", Q.is_acyclic(), "· diámetro:", Q.diameter())
A = Q.adjacency_matrix()
print("A =\n", A)
print("A² =\n", Q.adjacency_power(2))

out = viz_quiver(Q, matriz=A)

§2

El álgebra de caminos kQ

PathAlgebra(Q) enumera los caminos por longitud y comprueba la identidad central: la dimensión de e_i·kQ_k·e_j coincide con la entrada (i, j) de A^k. Un Ideal generado por relaciones define el cociente kQ/I, cuya matriz de caminos efectivos ya no cuenta los caminos que la relación anula. Este es el quiver del ejemplo de la documentación, con dos flechas paralelas.

Python · aiq

from aiq import Quiver, PathAlgebra, Ideal, QuotientAlgebra

Q = Quiver([1, 2, 3, 4],
           [("α1", 1, 2), ("α2", 1, 2), ("γ", 1, 3), ("β", 2, 4), ("δ", 3, 4)])
pa = PathAlgebra(Q)
print("dim(kQ) =", pa.total_dimension())
for k in range(0, 3):
    print(f"caminos de longitud {k}:", [str(p) for p in pa.enumerate_paths(k)])
print("dim(e1·kQ2·e4) =", pa.dimension(1, 4, 2), "= (A²)[1,4] =", pa.dimension_via_matrix(1, 4, 2))
print("equivalencia matricial:", pa.verify_matrix_equivalence())

# cociente por la relación conmutativa βα1 − δγ
I = Ideal(pa, [pa.path_element(["α1", "β"]) - pa.path_element(["γ", "δ"])])
kQI = QuotientAlgebra(pa, I)
print("dim(kQ/I) =", kQI.total_dimension())
print("caminos efectivos de longitud 2:\n", kQI.effective_walk_matrix(2))

out = viz_quiver(Q, matriz=Q.adjacency_power(2), titulo_matriz="A²")

§3

Grado de impacto y vecindades

El grado de impacto g(c_i, c_j) es la longitud del camino dirigido más corto (Def. 2.2); el vector de impacto cuenta los caminos de cada longitud (Def. 2.5). El sistema fundamental de vecindades {A_k(c)} agrupa a los vértices por el grado con que impactan a c (Def. 2.3): son las capas que la figura colorea. Cambia el vértice c para ver sus capas.

Python · aiq

from aiq import Quiver, impact_degree, impact_vector, FundamentalNeighborhoodSystem
from aiq.datasets import example_5node_citation_quiver

Q = example_5node_citation_quiver()
c = "P5"
print("g(P1, P5) =", impact_degree(Q, "P1", c))
print("vec_g(P1, P5) =", impact_vector(Q, "P1", c, max_k=4))

sfv = FundamentalNeighborhoodSystem(Q, c)
capas = sfv.all_layers()
for g, vs in sorted(capas.items()):
    print(f"A_{g}({c}) =", sorted(vs))
print("atrapado topológicamente:", sfv.is_topologically_trapped())

out = viz_quiver(Q, capas={str(g): sorted(map(str, vs)) for g, vs in capas.items()}, centro=c)

§4

El autómata de impacto (AIQ)

Un AIQ es la cuádrupla (Q, Σ, {A_k}, φ): el quiver, un conjunto de estados, el sistema de vecindades y una regla de evolución. La tasa de impacto i^t(c) pondera la influencia de los vecinos con un peso P(g) decreciente en el grado (Def. 2.9). Con la regla SIR, un artículo susceptible (S) se vuelve relevante (R) según esa tasa y luego obsoleto (O) con probabilidad recovery_prob. Ejecuta y recorre la órbita con el control deslizante.

Python · aiq

from aiq import AIQ
from aiq.datasets import example_5node_citation_quiver

Q = example_5node_citation_quiver()
aiq = AIQ(Q, states=["S", "R", "O"], evolution_rule="SIR",
          beta=1.0, recovery_prob=0.3)
aiq.set_initial_config({"P1": "R", "P2": "S", "P3": "S", "P4": "S", "P5": "S"})
aiq.run(8, seed=42)
print(aiq.orbit_counts_table())
print("tasas de impacto hacia R en t final:", aiq.impact_rates_snapshot(target_state="R"))

out = viz_quiver(Q, orbita=[{str(k): str(v) for k, v in cfg.items()} for cfg in aiq.orbit])

§5

Configuraciones de Brauer

Una configuración de Brauer Γ = (Γ₀, Γ₁, μ, o) tiene vértices, polígonos (multiconjuntos de vértices), una multiplicidad μ y una orientación. El paquete calcula la dimensión del álgebra Λ_Γ y de su centro, el factor de impacto δ_B = Σ μ(m)·val(m) y la entropía H(B). El ejemplo son las particiones de 10 del artículo; brauer_from_citation_json hace lo mismo con una red de citación.

Python · aiq

from aiq.brauer import example_partitions_of_10, MU_STRATEGIES

bc = example_partitions_of_10()
print(bc.summary())
print("vértices:", bc.n_vertices, "· polígonos:", bc.n_polygons)
print("valencias:", {v: bc.valency(v) for v in bc.Gamma0})
print("μ:", bc.mu_dict)
print("truncados:", [v for v in bc.Gamma0 if bc.is_truncated(v)])
print("estrategias de multiplicidad disponibles:", list(MU_STRATEGIES))

out = {"tabla": [[str(v), bc.valency(v), bc.mu(v)] for v in bc.Gamma0],
       "cabecera": ["vértice", "valencia", "μ"]}

§6

Para seguir

El paquete está en PyPI (pip install aiq-quivers) y el código en GitHub. Los módulos que este cuaderno no toca —morphisms, validation con datos de citación reales, gnn con la atención algebraica y el puente a PyTorch Geometric— se documentan en el README. La entrada ¿Qué es un quiver? explica desde cero las ideas del primer capítulo.